里,2^阿列夫n=阿列夫n^阿列夫n=阿列夫n+1(注意:这里的“2^”是超运算,不是取幂集,两者不是一回事),e函数是阿列夫不动点……
槽点太多,洛晨曦已经不想吐槽了,连可数序数和阿列夫数都没分清,这对于集合论来说已经是近乎亵渎了。
(题外话:大基数公理的标准定义是,无法证明也无法证伪,而伯克利是可以被zfc明确证伪的,所以在zfc里不算大基数。但如果是zf集合论那么就是大基数,而且还是目前最大的那种(zfc最大的是伊卡洛斯基数)。
关于0=1这个玩意,0=1其实就是字面意思,一个矛盾式。包含初等算术的理论可能是不一致的,意思是可能有一个有限长的证明以0=1结尾,但我们在实践中都没有发现这样的迹象,自然数理论会有什么矛盾,而一致性强度越高的理论在不完备定理的背景下,不意味着越来越安全而是越来越危险,就越可能发现矛盾式的证明,而基于标准逻辑的推演规则,矛盾式蕴含一切命题为真,理论直接变得平凡。
转换成大基数,0=1的意思就是强大到允许一切命题成立,无论真伪命题,无论是否相矛盾或者悖论,只要是命题,就允许成立!
关于超实数n,超实数n是来自于微积分的一个无穷大量,可以当成超巨大有限数来看待,有限数的一切操作都可以运用于超实数n的身上,但并不影响n本身是个无穷大量。超实数本质上是将w的荒诞性合理化带来的,粗略的说,对于一个实数理论,你可以将诸如“0小于c”这样的句子作为公理加入,然后加入无穷句,也就是这个集合{0<w,0<c,1<c,2<c,……}中的句子。
这里,我们是处于一个元理论的环境,讨论对一个理论的添加修改,在这个外部视角,我们会觉得这个c压根不是实数,因为我们知道它大于所有自然数的事实。
但因为我们是分批成无穷个句子加进去,而对于理论来说,证明只是一个有限的过程,是无法合取这无限个句子得出c不是实数的结论的。
由于哥德尔完备定理,一个理论一致等价于它有模型,而加入这无穷个句子的实数理论还是一致的。
假设理论不一致,就会有一个有限长度的证明以0=1结尾,这个证明中只会用到有限条语句,但这无穷句子的任意有穷子集,与实数理论都不矛盾,因为这无穷句子中任取有限个句子都不过是表明c大于有限个自然数罢了。
……
关于超实数还存在一个“无穷降链”的问题(不过在本书里超实数=阿列夫零=w)。
超实数那就不只是向上无限叠堆向下同样,对于足够高阶无穷小,别说你是有限你就是无穷小
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